Sistemas de Amortização e Anatocismo

Dando continuidade aos artigos anteriores onde abordei um programa simples para a HP 12c para o cálculo de amortizações SAC e o artigo onde sugeri uma fórmula direta para o cálculo de amortizações PRICE, hoje falarei sobre um tema bem mais complexo e polêmico que aflige vários juristas, economistas e bancos já faz um bom tempo. O anatocismo, a cobrança de juros sobre juros. Já li diversos artigos na internet, alguns de juristas outros de economistas, uma característica em comum que encontrei em todos eles é o desentendimento. E o grande vilão da história, sem dúvidas, é o sistema PRICE (parcelas constantes). Existem diversos artigos na internet com diversos autores alegando que o PRICE esconde a cobrança de juros sobre juros, alguns sugerem inclusive que deve ser substituído pelo sistema SAC, que segundo eles não ocorre capitalização de juros. Em contrapartida existem diversos outros autores que defendem que o sistema PRICE não capitaliza juros, uma vez que não são usados para o calculo dos juros posteriores, pois os juros são sempre calculados com base no saldo devedor.

Não vou analisar aqui a discussão da legitimidade de cobrar juros sobre juros, isto fica na esfera da Ética, o que o leitor precisa saber, no momento, é que a legislação brasileira, no geral, proíbe a incidência de juros sobre juros mensais, mas permite a capitalização anual.

Juros simples e juros compostos

Como é sabido, exitem duas formas de um credor cobrar juros de um devedor, juros simples e juros compostos. Os juros simples são aqueles em que a taxa de juros somente incide sobre o principal da dívida, ou seja, não há a cobrança de juros sobre juros. Os juros simples podem ser calculados da seguinte forma:

                                                      J = C * i * n

O montante a pagar (capital mais juros) pode ser calculado da seguinte forma:


                                                 M = C * (1 + i * n)

Onde:

J é o valor dos juros a pagar pela operação de crédito a juros simples.
C é o capital inicial tomado por empréstimo.
i é a taxa de juros do período.
n é o número de períodos a decorrer até o pagamento dos juros.
M é o valor total a pagar ao credor (capital mais os juros).

Já o montante a ser pago por uma operação de crédito a juros compostos é calculado pela seguinte fórmula:

 

A nomenclatura dos termos é idêntica à fórmula de juros simples. A diferença aqui é que o fator n do tempo é exponencial e não linear.

Pois bem, vamos analisar como exemplo um empréstimo de 10.000,00 a ser pago em 5 meses à taxa de juros de 2% ao mês. Pelo calculo dos juros simples, o montante a ser pago no final de 5 meses é de 11.000,00, já pelos juros compostos o valor total a pagar será de 11.040,81. A diferença de 40,81 refere-se a cobrança de juros sobre juros, isto é, os juros do período anterior serão computados ao capital para fins de cálculos dos juros dos períodos futuros. Até aqui é muito fácil, para pagamentos únicos é evidentemente fácil identificar se houve cobrança de juros sobre juros.

Mas a partir do momento em que os indivíduos se deparam com séries de pagamentos (sistemas de amortização) ocorre um "bug" no cérebro de diversas pessoas, incluindo autores, economistas, juízes e advogados e eles não conseguem mais chegar ao entendimento se ouve ou não cobrança de juros sobre juros, vou demonstrar. Segue abaixo dois fluxos de pagamento, os mais usados no mundo, o primeiro pelo sistema PRICE e o segundo pelo sistema SAC. Nos dois sistemas o prazo será de 5 meses à taxa de juros de 3,5% a.m e o valor emprestado será de 100.000,00:

Fluxo de pagamentos PRICE (parcelas constantes):

Fluxo de pagamentos SAC (amortizações constantes):

 

Analise os dois fluxos, você diria que o sistema PRICE utiliza juros compostos e o sistema SAC juros simples? Ou você diria que nos dois fluxos não há a incidência de juros sobre juros? Ou você entende que nos dois fluxos ouve a incidência de juros sobre juros? O que você me diz? "Bugou"?

Antes de responder esta pergunta e demonstrar matematicamente o porque, informo que nem mesmo entre os autores, economistas, juízes e advogados existe um consenso. O que é mais comum de se encontrar em artigos publicados é que o sistema PRICE cobra juros sobre juros e que o sistema SAC não cobra juros sobre juros. Vou tentar resumir os argumentos mais comuns:

• O sistema PRICE é baseado em uma progressão geométrica, caracterizando a incidência de juros exponenciais. O sistema SAC é baseado em uma progressão aritmética, caracterizando a incidência de juros lineares.

• No sistema SAC paga-se menos juros totais do que no sistema PRICE, pois os juros não são capitalizados. 

• A própria fórmula de calculo da parcela PRICE oculta uma exponenciação que capitaliza os juros, o que não ocorre no sistema SAC onde o capital é amortizado a valor constante.

Antes de prosseguir com as minhas explicações, asseguro desde o início, estes três argumentos estão errados. Na verdade os dois sistemas possuem o mesmo custo financeiro, uma vez que a taxa de juros é a mesma. A diferença em relação ao montante de juros pagos deve-se ao sistema SAC ter pagamentos maiores no início do período.

Sobre a pergunta se algum destes sistemas utiliza juros compostos, a resposta é que os dois utilizam juros compostos. Na verdade, qualquer sistema de amortização usado na atualidade é baseado em juros compostos. "Bugou" de novo?

Para ficar mais fácil explicar, analise os dois fluxos abaixo:

Fluxo de amortização A:

 

Fluxo de amortização B:

Nos dois fluxos foi utilizado a mesma taxa de juros de 3,5% a.m, empréstimo no valor de 100.000,00 e prazo de pagamento de 5 meses. A diferença entre eles refere-se ao valor das parcelas. No fluxo A, as parcelas foram compactuadas de maneira totalmente irregular, em um mês paga-se mais, em outro paga-se menos. No fluxo B, as parcelas foram calculadas levando à valor futuro parcelas iguais do capital, no caso 20.000,00.

O que eu quero que vocês entendam é que estes 4 fluxos de amortização são equivalentes, pois possuem a mesma taxa de juros.

Agora atentem para a coluna de valor presente da parcela dos quatro fluxos apresentados, PRICE, SAC, fluxo A e fluxo B. O valor presente foi calculado com base na formula do montante para juros compostos. Agora você pode estar se perguntando: Se você utilizou a fórmula de montante de juros compostos então os quatro sistemas são baseados em juros compostos? Sim, isso mesmo. Porém essa evidenciação não é tão simples assim. Assim como a resposta para a vida o universo e tudo mais, o problema não está na resposta em si, mas na pergunta certa que deve ser feita.

Muitos autores argumentam que em nenhum destes sistemas houve a cobrança de juros sobre juros, uma vez que, em cada período houve o pagamento integral dos juros, o que não permitiu que os referidos juros fossem integrados ao valor do capital e por consequência os mesmos não foram computados para o cálculo dos juros em períodos futuros. É um argumento poderoso, e convence muita gente. Mas falta um pressuposto básico, algo que não é discutido, a pergunta certa: Mas os juros devem incidir sobre o saldo devedor? Ou sobre o valor relativo do capital inicial que cada parcela representa?

Esse pergunta pode parecer idiota (desculpe o mal termo), muitos professores e economistas vão pular em suas cadeiras e gritar aos berros: "É obvio que é sobre o saldo devedor, você não sabe de nada do que está falando". Afirmo, os juros são calculados sobre o componente relativo do capital em cada parcela. Os juros calculados sobre o saldo devedor total, imediatamente irá capitalizá-los, mesmo que sua totalidade tenha sido paga na parcela, isso já interferiu no calculo dos demais juros, sempre resultando em juros compostos, isto é juros sobre juros. A maneira correta é calcular os juros sobre os componentes do capital emprestado correspondentes em cada parcela, assim você poderá escolher se deseja manter a capitalização de juros compostos ou se deseja calcular em juros simples.

Voltemos ao exemplo do fluxo B, que é mais fácil, pois o valor presente das parcelas é constante. Imagine que eu tenha pegado um empréstimo de 100.000,00 de um parente meu, por isso ele não me cobrou juros, vou pagar 5 parcelas de 20.000,00 iguais. Ouve um problema, briguei com o parente e ele resolveu me cobrar juros compostos de 3,5% ao mês. Porém ao invés de montar aquele fluxo de amortização, ele fez os cálculos como devem ser feitos e levou cada uma das parcelas que eu o devia a valor futuro, na data do pagamento. Veja:

Parcela1 = 20.000 * (1+0,035)^1 = 20.700,00
Parcela2 = 20.000 * (1+0,035)^2 = 21.424,50
Parcela3 = 20.000 * (1+0,035)^3 = 22.174,36
Parcela4 = 20.000 * (1+0,035)^4 = 22.950,46
Parcela5 = 20.000 * (1+0,035)^5 = 23.753,73

Perceberam que o fluxo de pagamentos é idêntico ao do quadro de amortização anterior? Ouve de fato a cobrança de juros sobre juros. A única situação em que essas parcelas de capital serão pagas sem a incidência de juros sobre juros é se o valor futuro delas for calculado a juros simples:

Parcela1 = 20.000 * (1+0,035 * 1) = 20.700,00
Parcela2 = 20.000 * (1+0,035 * 2) = 21.400,00
Parcela3 = 20.000 * (1+0,035 * 3) = 22.100,00
Parcela4 = 20.000 * (1+0,035 * 4) = 22.800,00
Parcela5 = 20.000 * (1+0,035 * 5) = 23.500,00

Agora veja incongruência, se você for em 5 bancos diferentes e pegar 5 empréstimos de 20.000,00 pagando cada um deles em parcelas únicas, uma em cada banco, uma em cada mês, provavelmente os bancos não irão lhe cobrar os valores de 20.700,00; 21.424,50; 22.174,36; 22.950,46; 23.753,73 cada um, pois ficará evidente que foi cobrado juros sobre juros, e existem vários advogados dispostos a lhe auxiliar juridicamente nisso. Mas se você for em um único banco e pegar o valor total dos 100.000,00, o banco poderá montar este fluxo de amortização e ninguém vai reclamar, pois quando os juros compostos estão embutidos em um fluxo de amortização o cérebro de todo mundo "buga" e ninguém enxerga os juros compostos. O mesmo raciocínio vale para qualquer fluxo de amortização onde os juros do período incidem sobre o saldo devedor total e não somente sobre os componentes relativos do capital inicial em cada parcela.

Voltemos ao exemplo PRICE, nele o valor do capital é dividido entre as parcelas de modo que os juros sobre juros em cada pagamento ao somar-se ao capital faz com que todas as parcelas fiquem com valor constante. Veja (os valores de cada capital inicial foram extraídos da coluna de valor presente do quadro PRICE):

Parcela1 = 21.399,17 * (1+0,035)^1 = 22.148,14
Parcela2 = 20.675,52 * (1+0,035)^2 = 22.148,14
Parcela3 = 19.976,35 * (1+0,035)^3 = 22.148,14
Parcela4 = 19.300,82 * (1+0,035)^4 = 22.148,14
Parcela5 = 18.648,14 * (1+0,035)^5 = 22.148,14

Perceberam a capitalização composta dos juros? Segue abaixo o mesmo raciocínio usando os valores da tabela SAC (os valores de cada capital inicial foram extraídos da coluna de valor presente):

Parcela1 = 22.705,31 * (1+0,035)^1 = 23.500,00
Parcela2 = 21.284,04 * (1+0,035)^2 = 22.800,00
Parcela3 = 19.932,93 * (1+0,035)^3 = 22.100,00
Parcela4 = 18.648,86 * (1+0,035)^4 = 21.400,00
Parcela5 = 17.428,84 * (1+0,035)^5 = 20.700,00

Isso irá se repetir para qualquer que seja o sistema de amortização onde os juros a pagar do período são calculados aplicando-se a taxa de juros sobre o saldo devedor total ao invés de somente valor relativo de cada parcela. Repetindo, um fluxo de amortização somente fluirá sem cobrar juros sobre juros, se o fluxo for calculado partindo do capital presente de cada parcela e levá-lo a valor futuro a juros simples.

Demonstrado esse fato, o leitor pode questionar, então como seria um fluxo de pagamentos a parcelas constantes que respeita os juros simples? Istó é, que não cobra juros sobre juros?

É possível criar um fluxo de parcelas constantes calculado a juros simples, porém ao contrário do que era de se esperar, o cálculo é mais complexo do que o calculo da parcela de PRICE.

Esse fluxo deverá respeitar o princípio de que trazendo-se as parcelas a valor presente a juros simples (não juros compostos) igualam-se ao capital inicial. Vamos considerar a mesma situação de um capital de 100.000,00 pelo prazo de 5 meses a taxa de juros de 3,5% a.m, porém agora a juros simples:

 

 

Encontramos que o valor da parcela de um fluxo de amortização que obedece aos juros simples nesse exemplo específico é de 22.055,59. A fórmula geral do cálculo da parcela constante para qualquer operação de crédito pode ser assim deduzida:

Onde:

C é o capital inicial.
i é a taxa de juros
j é o índice do somatório, que identifica o valor inicial, chamado limite inferior.
n é o limite superior, que neste caso, é o numero total de parcelas, o índice j irá percorrer todos os valores inteiros, partindo do limite inferior até o limite superior.

Retornando ao valor da parcela de 22.055,59, vamos encontrar os valores presentes do capital inicial a juros simples que elas representam:

 

 

 

O cálculo apresenta uma diferença de 0,01 centavos devido aos arredondamentos, diferença irrelevante.

Em resumo, um empréstimo de 100.000 à juros de 3,5% a.m, pelo prazo de 5 meses à parcelas constantes e sem a incidência de juros compostos, na prática o devedor e o credor combinaram entre si que serão realizados pagamentos mensais do capital emprestado nos valores: 21.309,75; 20.612,70; 19.959,81; 19.347,01 e 18.770,72; totalizando os 100.000,00 emprestados, sendo que, estas parcelas serão atualizadas pelos juros simples contratados de 3,5% a.m.:

Parcela1 = 21.309,75 * (1+ 0,035 * 1) = 22.055,59
Parcela2 = 20.612,70 * (1+ 0,035 * 2) = 22.055,59
Parcela3 = 19.959,81 * (1+ 0,035 * 3) = 22.055,59
Parcela4 = 19.347,01 * (1+ 0,035 * 4) = 22.055,59
Parcela5 = 18.770,72 * (1+ 0,035 * 5) = 22.055,60

A diferença de 0,01 centavo na ultima parcela deve-se a arredondamentos.

Volto à ressaltar que não discuto aqui se é ético ou não cobrar juros sobre juros, o que critico e tento elucidar são os erros de diversos autores e juristas que promulgam o desentendimento de teorias matemáticas.


Espero que tenha ajudado, obrigado pelo interesse e pela paciência.

Fórmula Matemática Para o Cálculo de Amortizações da Tabela Price

Dando continuidade ao último post, onde abordei sobre um programa na HP 12c para o cálculo do sistema de amortização SAC, hoje farei o caminho inverso ensinarei uma fórmula matemática onde é possível calcular as amortizações do Sistema Price (parcelas constantes).

Muitos de vocês devem estar se perguntando: "Pra que isso? Existe a HP 12c, nunca vou usar isso, preciso fazer cálculos rápidos, para que eu vou usar um fórmula para calcular isso?"

Vocês estão certos, sem dúvida, mas deixe-me explicar. Em pleno século 21, ano de 2016, ainda existem professores retrógrados que preferem cobrar resolução de fórmulas em exercícios e avaliações ao invés de fazer o aluno entender à lógica da matemática e instigá-lo a construir soluções inteligentes. Existe uma diferença abissal entre ensinar/cobrar a resolução de uma fórmula e ensinar/cobrar a lógica matemática em si. 

Eu tive sorte, os meus professores de matemática financeira e administração financeira eram ótimos, ao invés de perderem tempo com fórmulas, usávamos a HP 12c o tempo todo nas aulas e nas avaliações (ou qualquer outra calculadora financeira que o aluno tivesse). Mas eu obtive relatos de colegas do mesmo curso, que estudavam em outro turno, que o professor nunca sequer apresentou aos alunos à existência de calculadoras financeiras. Enquanto eles faziam provas ridículas de apenas 4 questões com perguntas relativamente fáceis, as nossas avaliações tinham em média 30 questões com situações complexas envolvendo carência, parcelas irregulares, prestações balão, valor residual, análise de investimento, fluxos de caixa descontados, portabilidade de empréstimos, etc. Agora eu vos pergunto, qual turma realmente aprendeu matemática financeira?

Pois bem, após esse relato, afirmo que concordo com vocês. Mas o objetivo deste artigo não é pregar o abandono de ferramentas de cálculo e adotar a resolução de fórmulas. Muito pelo contrário, o primeiro objetivo é: demonstrar a lógica intrínseca da amortização PRICE, o segundo objetivo é: sugerir um algoritmo alternativo para a resolução de problemas envolvendo a PRICE, não entendeu? Explico.

Atualmente, todas as ferramentas de cálculo da tabela PRICE utilizam os chamados cálculos iterativos, isto é, se você utiliza sua HP 12c para calcular a amortização de um empréstimo PRICE, o que sua calculadora faz na verdade é calcular as amortizações e os juros parcela a parcela até o período desejado, isto é, se você utiliza a função "f Amort" para a parcela número 25, ela irá realizar os mesmos cálculos iterativos 25 vezes. O calculo é bastante rápido devido o poder de processamento (principalmente nas calculadoras mais recentes que possuem um melhor processador). Porém, você já deve ter percebido que isto é um total desperdício de recursos, imagine uma situação que um administrador de sistemas seja cobrado de fazer esses cálculos para milhões de empréstimos? O desperdício se torna mais evidente. Nesse artigo demonstraremos um calculo direto, sem iterações.

Sistema de amortização PRICE

Como é sabido, o sistema de amortização PRICE, que leva esse nome graças ao seu criador Richard Price, possui como característica o fato de que todos os pagamentos periódicos são do mesmo valor, cuja parcela será calculada pela seguinte fórmula matemática:

ou:

 Onde:

PMT é o valor das parcelas periódicas.
PV é o valor presente, isto é, o capital inicial.
i é a taxa de juros periódica.
n é o número de parcelas do empréstimo.

Caso você tenha curiosidade de saber como Richard Price encontrou esta fórmula sugiro a leitura do artigo na Wikipédia. Atentem para a segunda equação, do calculo do PV com base no pmt, vamos voltar a ela logo.

Pois bem, veja o exemplo abaixo para o cálculo de um empréstimo PRICE de um capital de 100.000,00 durante o período de 5 meses à taxa de juros de 3,5% ao mês.

Observem a coluna de amortização e a coluna do valor presente das parcelas, são inversos. Observem também que as amortizações seguem uma progressão geométrica crescente cuja razão é "1 + i".

Pois bem, muitos professores e também autores relatam em suas aulas e livros que o sistema de amortização PRICE segue uma progressão geométrica, mas assim como na amortização SAC, dificilmente eles dão um passo adiante, aproveitando esta característica para desenvolver métodos que facilitem os cálculos. Neste artigo, daremos esse passo.

Progressão Geométrica e Sistema PRICE

Somente para relembrar, uma progressão geométrica é aquela em que, a partir de um termo inicial os demais termos são calculados multiplicando o termo anterior por um determinado valor, denominado razão da progressão geométrica.

A fórmula para a soma dos termos de uma progressão geométrica é a seguinte:

Onde:

a_1 é o n-ésimo termo da progressão geométrica.
q é a razão da progressão geométrica.
S_n é a soma dos números dos termos da progressão geométrica.

Observando o quadro do fluxo de amortização PRICE obtém-se o seguinte postulado notável para o calculo da n-ésima amortização:

A primeira amortização será, obviamente:

Onde:

Amortização_1 é a primeira amortização do fluxo price.
N é o número total de parcelas do empréstimo/financiamento.
n é o número da parcela até onde será amortizado a operação de crédito
i é a taxa periódica de juros.

Substituído a Amortização_1 em a_1 e substituindo a razão "1+i" em q na fórmula da soma dos números dos termos da progressão geométrica, temos:

Simplificando, temos:

Com esta fórmula simplificada, podemos calcular o somatório das amortizações realizadas em uma operação de crédito no sistema PRICE, da parcela inicial até uma parcela n qualquer.

Observem um fato curioso, comparem está equação com a fórmula de Richard Price para o calculo do PV com base no pmt:

Fórmula de Richard Price:

Fórmula encontrada neste artigo:

É exatamente a mesma fórmula!


Na verdade, a fórmula que Richard Price encontrou é uma situação especial da fórmula encontrada no presente artigo, a situação em que as parcelas a amortizar correspondem ao total das parcelas da operação de crédito, isto é, o total de amortizações irá se igualar ao PV.

O fato curioso é que já li diversos autores de diversos livros de matemática financeira e nunca observei ninguém chegar a esta conclusão. Provavelmente alguém deve ter observado esse detalhe, mas nunca vi em nenhuma publicação. Se alguém conhecer alguma, fineza comentar.

Essa fórmula pode ser usada em um algoritmo de programação para se encontrar o valor da amortização total realizada até um determinado período, o valor dos juros totais pagos até este período pode ser facilmente encontrado multiplicando-se o valor dos pagamentos (que são constantes) pelo número de parcelas e depois subtraindo o valor encontrado da amortização acumulada do capital. Irá economizar muitos recursos de processamento, por ser um cálculo direto, sem necessitar de iterações.

Bom, era só isso, comentem e compartilhem, obrigado pelo interesse e pela paciência.

Sistema de amortização SAC na HP 12c

Nas disciplinas de Matemática Financeira e Administração Financeira em cursos ligados à área de negócios é muito comum nos depararmos com diversos tipos de sistema de amortização, dentre os mais comuns vistos na área acadêmica e também no cotidiano, estão os sistemas PRICE (parcelas constantes) e SAC (Sistema de Amortização Constante).

Neste artigo abordaremos uma maneira bastante prática de realizar cálculos do Sistema SAC na famosa HP 12c. Vale ressaltar que ensinaremos um fácil programa para a HP 12c, porém para quem tiver interesse, o método poderá ser portado para qualquer outra calculadora que possui a função de programação.

Existem várias sugestões de programas para o cálculo de amortização SAC disponíveis na internet, porém todos que verificamos possuem limitações, não atendem todas as necessidades (principalmente em problemas acadêmicos). Estes programas disponíveis na internet são baseados em funções lógicas que consomem mais recursos da HP 12c, incluindo bateria, pois dependendo do número de parcelas a amortizar, o cálculo se torna extenso e com vários testes lógicos. Quanto mais testes lógicos são realizados mais recursos são consumidos.

Demonstraremos a criação de um programa que possui as mesmas facilidades da função "f amort" disponível por padrão na HP 12c que é utilizado para amortizações PRICE, e com a facilidade de serem cálculos diretos sem a necessidade de testes lógicos.

Base teórica

 

É muito comum que professores e autores mais atentos informem ao aluno ou ao leitor, que o sistema de amortização SAC funciona como uma progressão aritmética, isso é muito comum em aulas ou em livros sobre matemática financeira. Mas dificilmente, esses autores ou professores dão um passo além e desenvolvem ferramentas para facilitar o cálculo para o usuário. Nesse artigo daremos esse passo adiante.

Somente para relembrar:

Fórmula para o cálculo do n-ésimo termo da progressão aritmética:

Fórmula para o cálculo da soma dos termos de uma progressão aritmética:

Onde:

é o n-ésimo termo da progressão aritmética.

é o primeiro termo da progressão aritmética.

é o número de termos da progressão aritmética.

é a soma dos números de termos da progressão aritmética.

Sistema de Amortização Constante (SAC)

O sistema de amortização constante caracteriza-se pelo fato de que em todos os períodos de pagamento, o valor que será amortizado do principal da dívida sempre será constante. Os juros pagos serão calculados, obviamente, aplicando-se a taxa do respectivo período sobre o saldo devedor.

Observe o exemplo abaixo:

Um empréstimo de $100.000,00, com juros mensais de 3,5%, cujo prazo de pagamento é de 5 meses.

Período   S. D. Inicial     Amortização   Juros          Valor da Parcela   S. D. Final

     

     0                -                       -                -                        -                100.000,00

     1         100.000,00       20.000,00    3.500,00              23.500              80.000,00

     2           80.000,00       20.000,00    2.800,00              22.800              60.000,00

     3           60.000,00       20.000,00    2.100,00              22.100              40.000,00

     4           40.000,00       20.000,00    1.400,00              21.400              20.000,00

     5           20.000,00       20.000,00       700,00              20.700                     -

Perceba que o valor dos juros pagos durante os períodos obedece uma progressão aritmética decrescente, cujo primeiro termo sempre será o valor do capital inicial vezes a taxa de juros periódica. E a razão da progressão sempre será o valor da amortização periódica do capital vezes a taxa de juros. O mesmo vale para as parcelas pagas, uma vez que são compostas pelo valor da amortização periódica mais os juros do período. Com isso, podemos deduzir os seguintes postulados:

 

 

Onde:

Amortização é a amortização periódica do capital inicial.

Juro1 é o valor dos juros que serão pagos na primeira parcela, isto é, os juros iniciais da progressão aritmética.

Razão dos juros é a razão do decrescimento dos juros que serão pagos a partir da segunda parcela, isto é, a razão da progressão aritmética.

C é o capital inicial do empréstimo ou financiamento.

i é a taxa de juros periódica.

N é o total de parcelas do empréstimo ou financiamento.

Com base nestes postulados, podemos extrapolar as equações do n-ésimo termo da progressão aritmética e a equação da soma dos termos da progressão aritmética vistas no tópico acima. Extrapolando as equações temos:

 

Onde:

  é o valor dos juros pagos na n-ésima parcela.

é a n-ésima parcela.

  é o valor total dos juros que serão pagos do início da progressão aritmética considerada até a n-ésima parcela.

O valor total amortizado do capital do empréstimo poderá ser facilmente calculado multiplicando o valor da amortização mensal (que é constante) pelo total de parcelas pagas.

Esta demonstração serve para meramente explicar de onde que surge a metodologia dos cálculos que serão demonstrados no programa para a HP 12c, você não é obrigado a entender o que foi feito, mas é interessante que o leitor entenda, pois poderá extrapolar estas equações para qualquer outra ferramenta que possibilite programação, outras calculadoras, Excel, etc.

Programa para cálculo tabela SAC na HP 12c

 

Não vou explicar aqui exatamente como funciona a inserção de programas na HP 12c, partirei do pressuposto que o leitor já está familiarizando com a construção de macros na calculadora, do contrário, o artigo ficaria muito grande e fugiria do seu objetivo. Caso você queira se aprofundar mais na construção de programas na calculadora, sugiro a leitura do manual da HP 12c à partir da seção 8 página 92. O manual da calculadora HP 12c está disponibilizado no link em destaque.

A função de gravação de programas é inicializada apertando "f P/R" na HP 12c conforme descrito no manual. À partir deste momento, aperte as teclas descritas na tabela abaixo conforme a ordem de entrada, caso você erre algum input ou não tenha segurança de que foi digitado corretamente, zere a memória de programação clicando em "f program" e refaça do início.

 Segue abaixo as teclas que deverão ser pressionadas para gravar o programa corretamente:

A tecla " - " é a tecla de subtração da HP 12c, tecla "X > < Y" é a tecla de trocar x por y e a tecla " : " é a tecla de divisão. Após inserir todos os comandos digite novamente "f P/R" na calculadora para sair da gravação de programas.

Feito isso, vamos testar o seu novo programa!

Voltemos ao exemplo anterior, um empréstimo de $100.000,00, com juros mensais de 3,5%, cujo prazo de pagamento é de 5 meses.

Digite:

100.000 PV

3.5 i

5 n

Agora, vamos amortizar até a terceira parcela:

Digite 3 e rode o programa apertando R/S:

3 R/S

O primeiro valor que irá aparecer na tela é o valor dos juros pagos até a terceira parcela. Ao apertar o botão trocar x por y, aparecerá o valor das amortizações do capital pagas até a terceira parcela. Ao digitar "RCL PV" aparecerá o saldo devedor do empréstimo até a terceira parcela. Ao digitar "RCL n" aparecerá o total de parcelas que ainda deverão ser pagas. Ao digitar "RCL PMT" aparecerá o valor pago na terceira parcela.

Perceba que este programa funciona basicamente como a função "f Amort" da HP 12c, utilizada para cálculos envolvendo amortização PRICE.

É possível também, calcular o valor de amortização de juros de parcelas específicas ao invés de acumulados. Sem zerar os registros da calculadora, vamos calcular o valor dos juros pagos na quarta parcela. Uma vez que já calculamos o acumulado até a terceira parcela, vamos amortizar mais uma parcela e com isso teremos os dados somente da quarta parcela:

1 R/S

No visor aparecerá o valor pago de juros somente da quarta parcela, ao trocar x por y aparecerá o valor amortizado do capital somente na quarta parcela. A digitar "RCL n" aparecerá o restante das parcelas a amortizar, que neste caso será somente uma. Ao digitar "RCL PV" aparecerá o saldo devedor após o pagamento da quarta parcela. E ao digitar "RCL PMT" aparecerá o valor da quarta parcela paga.

Exemplos resolvidos:

Exemplo 1: Um empréstimo de 500.000,00 reais obtidos à uma taxa de 2,5% ao mês, pelo prazo de 20 meses. Pede-se que calcule o total de juros pagos e o total de parcelas pagas até a parcela de número 13:

Resposta

Digite:

500.000,00 PV

20 N

2.5 i

13 R/S

Visor: -113.750,00 O total de juros pagos até a 13 parcela.

Depois aperte o botão +

Visor: -438.750,00 O total das parcelas pagas até a 13 parcela.

Exemplo 2: Um empréstimo de 350.000,00 reais obtidos à uma taxa de 1,5% ao mês, pelo prazo de 35 meses. Pede-se que calcule o valor dos juros pagos na parcela número 28, bem como o valor da parcela 28:

Resposta

Acumule as amortizações até a parcela anterior a solicitada, isto é, a parcela 27:

350.000 PV

1.5 i

35 N

27 R/S

depois amortize mais uma parcela, ou seja, a calculadora irá fazer os cálculos somente da parcela 28:

1 R/S

Visor: -1.200,00 O valor dos juros pagos na parcela 28.

Depois digite:

RCL PMT

Visor: -11.200,00 O Valor da parcela número 28.

Exemplo 3: Um empréstimo de 420.000,00 reais obtidos à uma taxa de 3,0% ao mês, pelo prazo de 42 meses. Pede-se para calcular o valor dos juros e das parcelas pagas em todo o empréstimo.

Resposta

420.000,00 PV

3 i

42 N

42 R/S

Visor: -270.900,00 O valor total dos juros pagos até a ultima parcela, a de número 42.

Depois aperte a tecla +

Visor: -690.900,00 O valor total das parcelas pagas durante todo o financiamento.

Exemplo 4: Um empréstimo de 260.000,00 reais obtidos à uma taxa de 4,2% ao mês, pelo prazo de 38 meses. Pede-se para calcular o total das amortizações bem como o total dos juros e das parcelas pagas da parcela de número 16 até a parcela de número 27.

Resposta

260.000,00 PV

4,2 i

38 N

Amortize as parcelas até a de número 15:

15 R/S

depois amortize até a parcela de número 27 (27 - 15):

12 R/S

Visor: -60.347,37 O total dos juros pagos da parcela 16 à 27

Depois aperte a tecla "X > < Y" (trocar x por y):

Visor: -82.105,26 O total do capital amortizado da parcela 16 à 27.

depois tecle o botão +

Visor: -142.452,63 O valor total das parcelas pagas da número 16 à 27.

Existem inúmeras possibilidades de utilização deste programa, é muito prático. Irá ajudá-lo e muito na realização de avaliações, exercícios, ou rápidas análises de empréstimos e condições de pagamento.

Caso vocês tenham feito os testes e os cálculos aparentam erros, apaguem a memoria de programação da HP 12c e refaçam o input novamente, provavelmente ouve algum erro na inserção das teclas, as teclas descritas no quadro estão corretas, elas foram testadas.

Espero que tenham gostado, compartilhem, obrigado pelo interesse e pela paciência.