Fórmula Matemática Para o Cálculo de Amortizações da Tabela Price

Dando continuidade ao último post, onde abordei sobre um programa na HP 12c para o cálculo do sistema de amortização SAC, hoje farei o caminho inverso ensinarei uma fórmula matemática onde é possível calcular as amortizações do Sistema Price (parcelas constantes).

Muitos de vocês devem estar se perguntando: "Pra que isso? Existe a HP 12c, nunca vou usar isso, preciso fazer cálculos rápidos, para que eu vou usar um fórmula para calcular isso?"

Vocês estão certos, sem dúvida, mas deixe-me explicar. Em pleno século 21, ano de 2016, ainda existem professores retrógrados que preferem cobrar resolução de fórmulas em exercícios e avaliações ao invés de fazer o aluno entender à lógica da matemática e instigá-lo a construir soluções inteligentes. Existe uma diferença abissal entre ensinar/cobrar a resolução de uma fórmula e ensinar/cobrar a lógica matemática em si. 

Eu tive sorte, os meus professores de matemática financeira e administração financeira eram ótimos, ao invés de perderem tempo com fórmulas, usávamos a HP 12c o tempo todo nas aulas e nas avaliações (ou qualquer outra calculadora financeira que o aluno tivesse). Mas eu obtive relatos de colegas do mesmo curso, que estudavam em outro turno, que o professor nunca sequer apresentou aos alunos à existência de calculadoras financeiras. Enquanto eles faziam provas ridículas de apenas 4 questões com perguntas relativamente fáceis, as nossas avaliações tinham em média 30 questões com situações complexas envolvendo carência, parcelas irregulares, prestações balão, valor residual, análise de investimento, fluxos de caixa descontados, portabilidade de empréstimos, etc. Agora eu vos pergunto, qual turma realmente aprendeu matemática financeira?

Pois bem, após esse relato, afirmo que concordo com vocês. Mas o objetivo deste artigo não é pregar o abandono de ferramentas de cálculo e adotar a resolução de fórmulas. Muito pelo contrário, o primeiro objetivo é: demonstrar a lógica intrínseca da amortização PRICE, o segundo objetivo é: sugerir um algoritmo alternativo para a resolução de problemas envolvendo a PRICE, não entendeu? Explico.

Atualmente, todas as ferramentas de cálculo da tabela PRICE utilizam os chamados cálculos iterativos, isto é, se você utiliza sua HP 12c para calcular a amortização de um empréstimo PRICE, o que sua calculadora faz na verdade é calcular as amortizações e os juros parcela a parcela até o período desejado, isto é, se você utiliza a função "f Amort" para a parcela número 25, ela irá realizar os mesmos cálculos iterativos 25 vezes. O calculo é bastante rápido devido o poder de processamento (principalmente nas calculadoras mais recentes que possuem um melhor processador). Porém, você já deve ter percebido que isto é um total desperdício de recursos, imagine uma situação que um administrador de sistemas seja cobrado de fazer esses cálculos para milhões de empréstimos? O desperdício se torna mais evidente. Nesse artigo demonstraremos um calculo direto, sem iterações.

Sistema de amortização PRICE

Como é sabido, o sistema de amortização PRICE, que leva esse nome graças ao seu criador Richard Price, possui como característica o fato de que todos os pagamentos periódicos são do mesmo valor, cuja parcela será calculada pela seguinte fórmula matemática:

ou:

 Onde:

PMT é o valor das parcelas periódicas.
PV é o valor presente, isto é, o capital inicial.
i é a taxa de juros periódica.
n é o número de parcelas do empréstimo.

Caso você tenha curiosidade de saber como Richard Price encontrou esta fórmula sugiro a leitura do artigo na Wikipédia. Atentem para a segunda equação, do calculo do PV com base no pmt, vamos voltar a ela logo.

Pois bem, veja o exemplo abaixo para o cálculo de um empréstimo PRICE de um capital de 100.000,00 durante o período de 5 meses à taxa de juros de 3,5% ao mês.

Observem a coluna de amortização e a coluna do valor presente das parcelas, são inversos. Observem também que as amortizações seguem uma progressão geométrica crescente cuja razão é "1 + i".

Pois bem, muitos professores e também autores relatam em suas aulas e livros que o sistema de amortização PRICE segue uma progressão geométrica, mas assim como na amortização SAC, dificilmente eles dão um passo adiante, aproveitando esta característica para desenvolver métodos que facilitem os cálculos. Neste artigo, daremos esse passo.

Progressão Geométrica e Sistema PRICE

Somente para relembrar, uma progressão geométrica é aquela em que, a partir de um termo inicial os demais termos são calculados multiplicando o termo anterior por um determinado valor, denominado razão da progressão geométrica.

A fórmula para a soma dos termos de uma progressão geométrica é a seguinte:

Onde:

a_1 é o n-ésimo termo da progressão geométrica.
q é a razão da progressão geométrica.
S_n é a soma dos números dos termos da progressão geométrica.

Observando o quadro do fluxo de amortização PRICE obtém-se o seguinte postulado notável para o calculo da n-ésima amortização:

A primeira amortização será, obviamente:

Onde:

Amortização_1 é a primeira amortização do fluxo price.
N é o número total de parcelas do empréstimo/financiamento.
n é o número da parcela até onde será amortizado a operação de crédito
i é a taxa periódica de juros.

Substituído a Amortização_1 em a_1 e substituindo a razão "1+i" em q na fórmula da soma dos números dos termos da progressão geométrica, temos:

Simplificando, temos:

Com esta fórmula simplificada, podemos calcular o somatório das amortizações realizadas em uma operação de crédito no sistema PRICE, da parcela inicial até uma parcela n qualquer.

Observem um fato curioso, comparem está equação com a fórmula de Richard Price para o calculo do PV com base no pmt:

Fórmula de Richard Price:

Fórmula encontrada neste artigo:

É exatamente a mesma fórmula!


Na verdade, a fórmula que Richard Price encontrou é uma situação especial da fórmula encontrada no presente artigo, a situação em que as parcelas a amortizar correspondem ao total das parcelas da operação de crédito, isto é, o total de amortizações irá se igualar ao PV.

O fato curioso é que já li diversos autores de diversos livros de matemática financeira e nunca observei ninguém chegar a esta conclusão. Provavelmente alguém deve ter observado esse detalhe, mas nunca vi em nenhuma publicação. Se alguém conhecer alguma, fineza comentar.

Essa fórmula pode ser usada em um algoritmo de programação para se encontrar o valor da amortização total realizada até um determinado período, o valor dos juros totais pagos até este período pode ser facilmente encontrado multiplicando-se o valor dos pagamentos (que são constantes) pelo número de parcelas e depois subtraindo o valor encontrado da amortização acumulada do capital. Irá economizar muitos recursos de processamento, por ser um cálculo direto, sem necessitar de iterações.

Bom, era só isso, comentem e compartilhem, obrigado pelo interesse e pela paciência.