Série de Pagamentos, Taxa Interna de Retorno e Valor Presente Líquido a Juros Simples

No último artigo falamos sobre os sistemas de amortização utilizados atualmente e como todos eles utilizam capitalização de juros compostos. Hoje abordaremos conceitos de juros simples na resolução de problemas corriqueiros em cálculos de valor presente líquido e taxa interna de retorno de empréstimos, financiamentos e investimentos.

Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno


Os conceitos de valor presente líquido e taxa interna de retorno estão intimamente ligados:

Valor Presente Líquido (VPL) é o valor presente dos fluxos de caixa de uma operação de crédito ou de investimento, utilizando uma taxa de retorno mínima desejada para avaliar se a operação é atrativa em termos financeiros. Se o valor presente líquido é positivo, indica que a operação é atrativa, pois supera a taxa de retorno mínima estipulada. Se resultar em valor negativo, a operação não é atrativa, indicando que a taxa de retorno da operação é inferior a taxa desejada. Se resultar em valor zero, indica que a operação resulta em um retorno exatamente igual a taxa mínima determinada.

Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa de juros que retorna o valor presente dos fluxos de caixa previstos em zero, isto é, a taxa de retorno real da operação analisada.

Percebe-se aqui a correlação entre os dois conceitos. Uma vez que ao "testarmos" uma determinada taxa no cálculo do valor presente líquido e ele retornar zero, indica que esta determinada taxa é a taxa interna de retorno da operação.

TIR a juros simples X TIR a juros compostos


Antes de escrever essa série de artigos sobre sistemas de amortização, li vários outros artigos na internet. Um crítica comum em todos eles sobre a utilização de sistemas de amortização em juros simples é a de que um fluxo de caixa em juros simples não retorna a taxa interna de retorno compactuada no contrato, sempre sendo inferior. É incrível ter que explicar algo tão óbvio mas não vejo outra alternativa para elucidar esta questão. Todos eles calculam a taxa interna de retorno por meio de uma calculadora financeira (normalmente a HP 12c) ou por meio de fórmulas em planilhas eletrônicas como o Excel. Porém estas ferramentas calculam a taxa interna de retorno utilizando o conceito de juros compostos. É obvio, é evidente, que a taxa será diferente da taxa compactuada. Para calcular a TIR de um fluxo em juros simples você deve utilizar o conceito de juros simples, você somente pode utilizar o conceito de juros compostos para fluxos de caixa em juros compostos. Isto deveria ser algo de percepção imediata que não requer maiores explicações, mas como eu já havia alertado em meu artigo anterior, existe muita propagação de desentendimento das teorias matemáticas entre os advogados, juízes, economistas, administradores, contadores, peritos, etc.

O cálculo da taxa interna de retorno é complicado, se for a juros compostos é mais complicado ainda. Em juros compostos resultará em uma equação cujo grau será da mesma ordem do número de fluxos de caixa. Se for a juros simples, resultará em uma equação do primeiro grau, porém sua fórmula será diferente para diferentes números de pagamentos.

A melhor solução encontrada para os dois casos é a utilização de cálculos iterativos, isto é, elaborar um programa que testa consistentemente várias taxas até encontrar uma que trazendo os fluxos de caixa a valor presente resulta em zero.

Segue abaixo a fórmula para o cálculo do valor presente líquido a juros compostos, que deve resultar em zero para encontrar a taxa interna de retorno:




Segue abaixo a fórmula para o cálculo do valor presente líquido a juros simples, que deve resultar em zero para encontrar a taxa interna de retorno:



Para ambas as equações:

FC é o fluxo de caixa no período específico.
TIR é a taxa interna de retorno da operação.
n é período do fluxo de caixa correspondente.

As conhecidas ferramentas HP 12c (ou outras calculadoras financeiras) e o Excel já possuem funções que por padrão utilizam cálculos iterativos para encontrar a TIR a juros compostos. Aqui indico um link de um arquivo Excel com uma macro que calcula a TIR para juros simples e compara com a TIR a juros compostos.

Para utilizar a planilha, você deverá habilitar a função Solver na guia de complementos e depois habilitar a função desenvolvedor, também na guia complementos. E por último, habilitar o suplemento Solver dentro das opções de programação de visual basic for aplications (VBA) seguindo o caminho Desenvolvedor > Visual Basic > Ferramentas > Referências; e marcar a opção Solver. Se isso não for feito, a macro não funcionará. Os locais onde estas funções são ativadas pode variar dependendo da sua versão do Microsoft Office. Caso tenha dificuldades sugiro pesquisar sobre estas funções para a sua versão na guia de ajuda, ou pesquisar na internet.
Vamos à um exemplo simples: Imagine um empréstimo de 100.000,00 com  5 pagamentos mensais e consecutivos de 25.000,00. Qual a taxa interna de retorno compactuada?

Resposta: Depende. Na pergunta não foi informado o sistema de capitalização, se simples ou composto. Em capitalização simples, a taxa é de 8,73949% em capitalização composta a taxa é de 7,93083%. A diferença refere-se aos juros sobre juros. Caso se utilize capitalização composta, será será necessário uma taxa de retorno menor para produzir o mesmo fluxo de uma capitalização simples, óbvio.

Para usar minha planilha para resolver o problema, basta colocar na coluna "período" os períodos referentes aos fluxos de pagamento, de maneira crescente, partindo do zero que é o fluxo inicial. Na coluna "fluxo de caixa", basta informar todos os fluxos de caixa da operação, de maneira consecutiva, partindo do fluxo zero, que representa, neste caso, o valor do empréstimo tomado, não se esqueça de usar a convenção de sinais, desembolsos financeiros são negativos e embolsos financeiros são positivos (o inverso também funciona, é necessário somente que você informe em sinais diferentes o que é entrada e saída de caixa). Nas colunas "valor presente líquido (juros compostos)" e "valor presente líquido (juros simples)" basta que você arraste as fórmulas até a última linha com valores das colunas de "período" e "fluxo de caixa". Feito isso, o valor da TIR a juros compostos já será calculado automaticamente pelo Excel, para calcular o valor da TIR a juros simples, basta clicar no botão calcular. "As colunas de valor presente" demonstram os valores presentes líquidos a juros compostos e a juros simples, usando as respectivas taxas. Obviamente, para o cálculo estar correto, o valor da soma de ambas deve ser zero. Segue abaixo imagem da planilha:

Quitação antecipada de operações de crédito a juros simples


Outra crítica bastante comum dita pelos defensores dos sistemas de amortização a juros compostos é que a quitação antecipada de empréstimos resulta em dois valores possíveis e que isso causaria judicialização do contrato onde o credor exigiria o maior valor e o devedor exigiria o menor valor. Vou explicar com um exemplo:

Imagine um empréstimo de 30.000,00 pelo prazo de 5 meses à juros simples de 3,5% a.m. a ser pago integralmente após o referido prazo. No final do período o devedor terá que pagar 35.250,00:

FV (5) = 30.000 * (1+ 0,035 * 5) = 35.250,00

Agora imagine que o devedor queria pagar a divida antecipadamente após 3 messes ao invés dos 5 meses inicialmente calculado. O credor assim a calcula a dívida atualizada:

FV (3) = 30.000 * (1 + 0,035 * 3) = 33.150,00

Porém o devedor questiona esse valor e faz o cálculo trazendo a dívida integral de 35.250,00 à valor presente no terceiro mês:

PV (3) = 35.250 / (1 + 0,035 * 3) = 31.900,45

Segundo os críticos dos juros simples os dois valores seriam "válidos", o que causaria uma judicialização desnecessária dos contratos, e que isso ocorre devido aos juros simples serem intrinsecamente "inconsistentes", pois trazer uma dívida futura à valor presente resulta em valor diferente de levar a mesma dívida do valor presente a valor futuro.

Para os mais desatentos, ou para aqueles que não conhecem os conceitos de juros simples e compostos, essa crítica está correta e que de fato os juros simples são inconsistentes. Porém, afirmo que o devedor trouxe a dívida a valor presente de maneira errada. Ao realizar o cálculo desse modo, seria como se a dívida tivesse sido calculada com base em um capital obtido no terceiro mês, o que não é verdade. Para se trazer à valor presente, o devedor deveria ter subtraído os juros da dívida do capital que foi emprestado no MOMENTO ZERO, isto é 30.000,00. Poderia assim ser feito:

PV (3) = 35.250,00 - (30.000,00 * 0,035 * 2) = 35.250,00 - 2.100,00 = 33.150,00

Isso acontece porque, ao contrário do conceito dos juros compostos, os juros de um período da operação de crédito são calculados somente sobre o capital efetivamente emprestado e não sobre o saldo de capital + juros do período anterior. Não há o que questionar em quitações antecipadas de empréstimos. O cálculo que o credor fez também está correto, uma vez que ele levou até o terceiro mês o capital emprestado de 30.000,00.

Cabe ressaltar um ponto aqui, tendo o valor futuro de 35.250,00 no final de 5 meses, eu posso trazer a valor presente no MOMENTO ZERO da forma que devedor calculou, uma vez que a dívida se iniciou de fato no MOMENTO ZERO. Veja:

PV (0) = 35.250,00 / (1 * 0,035 * 5) = 35.250,00 / 1,175 = 30.000,00

é o mesmo que calcular:

PV (0) = 35.250,00 - (30.000 * 0,035 * 5) = 35.250,00 - 5.250,00 = 30.000,00

Os cálculos são equivalentes, mas perceba que no primeiro caso, foi trazido a valor presente para o exato momento onde a dívida foi constituída, uma vez que em juros simples, os juros são calculados somente sobre o principal da dívida no momento zero e não sobre o saldo anterior do capital + juros, o que poderia ser feito sem prejuízo para o resultado em uma situação envolvendo juros compostos.

Dito isso, acredito que encerramos por aqui esse questionamento.

Cálculo de parcelas constantes em juros simples


No meu último artigo, sugeri como seria o cálculo de um sistema de amortização em parcelas constantes obedecendo os conceitos de juros simples. Porém já havia alertado que o cálculo é um pouco mais complicado do que para a parcela de PRICE, que é baseada em juros compostos. É um pouco mais complicado pois envolve uma sucessão de somas de quocientes, onde o número de somas será da ordem do número de parcelas, isto é, se a operação de crédito tiver 60 parcelas, serão necessárias 60 somas de quocientes. Porém vivemos no século XXI, uma grande quantidade de somas não é problema, qualquer indivíduo, mesmo amador é capaz de criar um algoritmo computacional para resolver este problema em milésimos de segundos. Basta que para isso o programador respeite a equação:


 

Onde:

C é o capital inicial.
i é a taxa de juros
j é o índice do somatório, que identifica o valor inicial, chamado limite inferior.
n é o limite superior, que neste caso, é o numero total de parcelas, o índice j irá percorrer todos os valores inteiros, partindo do limite inferior até o limite superior.

A explicação de como cheguei nessa equação esta descrita no meu último artigo, cujo link está no início desta sessão.

Na planilha Excel que eu disponibilizei no presente artigo, na segunda aba, está proposta uma maneira simples e rápida de se calcular o valor da parcela constante em juros simples. Não é um programa em VBA (macro) são cálculos diretos. Eu poderia ter construído um programa em VBA que realiza o cálculo automaticamente utilizando um loop até que fossem somados todos os quocientes, mas preferi construir neste formato para que o leitor perceba as somas dos quocientes e identifique que o cálculo obedeceu a equação acima.

Para utilizar a planilha, basta informar o valor do capital inicial da operação de crédito e a taxa de juros simples em porcentagem, lembrando que a taxa de juros deve ser da mesma ordem que o período das parcelas, se forem prestações mensais, a taxa de juros deverá ser mensal, etc. Após informar estes valores, na coluna prazo você deverá informar quando deverão ser pagas as parcelas, se forem 5 parcelas mensais e consecutivas, deverá informar: 1, 2, 3, 4 e 5, etc. Agora basta "arrastar" a fórmula da coluna "1/ (1 +  i * n)" até a ultima linha da coluna "prazo" que contenha dados. E pronto!

Vamos utilizar em um exemplo simples:

Um capital de 100.000,00 emprestado à uma taxa de juros simples de 2,5% a.m. a ser pago em 12 parcelas mensais, iguais e consecutivas, resulta em uma parcela constante de  9.633,88:



Vamos testar esse valor trazendo todas as parcelas a juros simples para o momento zero:

PV = 9.633,88 * (1 + 0,025 * 1) = 9.398,91
PV = 9.633,88 * (1 + 0,025 * 2) = 9.175,12
PV = 9.633,88 * (1 + 0,025 * 3) = 8.961,75
PV = 9.633,88 * (1 + 0,025 * 4) = 8.758,07
PV = 9.633,88 * (1 + 0,025 * 5) = 8.563,45
PV = 9.633,88 * (1 + 0,025 * 6) = 8.377,29
PV = 9.633,88 * (1 + 0,025 * 7) = 8.199,05
PV = 9.633,88 * (1 + 0,025 * 8) = 8.028,23
PV = 9.633,88 * (1 + 0,025 * 9) = 7.864,39
PV = 9.633,88 * (1 + 0,025 * 10) = 7.707,10
PV = 9.633,88 * (1 + 0,025 * 11) = 7.555,98
PV = 9.633,88 * (1 + 0,025 * 12) = 7.410,68

Ao somar todos os valores presentes das parcelas chegamos ao valor do capital inicial emprestado de 100.000,02. A diferença de 0,02 centavos surge devido aos arredondamentos, valor irrelevante.

Volto a ressaltar aqui, como já havia falado no artigo anterior, não estou discutindo se é ético ou não cobrar juros sobre juros (juros compostos) meu objetivo é sanar os desentendimentos sobre os sistemas de amortização baseados em juros simples ou compostos propagados por diversos peritos, juízes, advogados, etc. Acredito que o objetivo foi cumprido.

Finalizamos aqui mais um artigo, compartilhem, obrigado pelo interesse e paciência.

2 comentários:

  1. Marcena Gunter, a spokeswoman for Veterans Affairs , stated internet gambling additionally provides overseas Armed Forces members quick access to gaming. Once they leave the army, many veterans the company works with become hooked on video slot machines. Homeless veterans seem like extra hooked on scratch-off video games and the lottery, she stated. Under the tribes’ proposal for internet gambling and sports betting, gamblers all through North Dakota may use cell gadgets to place bets that may be funneled through computer servers on tribal land. The compact does enable for such 퍼스트카지노 gambling inside reservation boundaries utilizing cell gadgets, Nowatzki stated. These results present initial evidence for an essential link between loot box spending and problem gambling in older adolescents.

    ResponderExcluir
  2. Compare the minimal deposit for varied offers along with the number of free spins you obtain search out|to search out} the most effective free spins bonuses. There are over 250 slots to try out at Slots of Vegas, together with Vegas XL, Desert Raider, and Fortunate Buddha. They additionally provide traditional casino games like blackjack, video poker, and roulette need to|if you would like to} change things up. They additionally present some rarer picks 카지노사이트 like Fish Catch and keno.

    ResponderExcluir

Power B.I. - Cálculo de Venda Mesmas Lojas e Lojas Novas. Com Critério de Datas Variável

Com esse artigo vou mostrar a vocês como criar medidas de venda no Power B.I. usando filtros de mesmas lojas, lojas novas e lojas fechadas. ...